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“空间变换?”
“对,你是学计算机的,不是学数学的,所以不要去死扣教材上的概念。
听起来你们教授上课只是教你们如何计算而已。达到这个教学目标的确只需要背公式就足够了。”
乔源解释道。
“然后呢?”夏汐月虚心的继续问道。
“把矩阵当成了空间变换就很好理解特征值了。丢一个向量给矩阵,然后就能得出一个新的向量。
比如现在有一个2X2的矩阵A,你随便拿一个向量乘它,就会得到一个新的向量。这一过程中它们的几何意义会发生一些改变。
在坐标轴上的看来就是向量的方向变了。当然这是最简单的一种情况,但绝大多数的情况下,通过矩阵乘法方向都会发生变化。
特征值就代表那些特殊情况。算的多了你就会发现有些特殊的向量乘了矩阵之后,它们的方向并没有改变。
它们在坐标轴上的指向依然跟在变换之前一样,区别只是这条线被拉长或者缩短了。
这一类经过矩阵变化但方向不变的向量就是特征向量,这些向量被拉长或者缩短的倍数就是你无法理解的特征值。
把这个理解套进你已经背下来的公式,也就是Av等于入v。答案就很明显了。
A代表矩阵,则代表向量,也就是矩阵A对向量v做了一次变换,等号代表线两端指向的方向不变,但是长度变成了之前的入倍。
更深入的理解,你会发现入的值决定了变换之后的结果。比如入大于1代表变长了,小于1但大于零,代表缩短了。
如果小于0则代表不但被拉伸了,还被反射。如果等于零,则代表着降维,从线变成了点。也是课本上说的压缩到了零向量。”
夏汐月恍然大悟的点起头来。
“所以你们研究数学就是这样联想的?”
“也不全是,会更复杂。”
乔源耐心的答道:“因为推广到一些复杂情况,这些东西会很抽象。比如无限维空间中的算子。
举个例子,一个函数空间,向量是一个函数,空间由无限多个基函数张成。
算子也已经不是矩阵,而是对函数的操作。这就更自由了。代价就是已经没法用可视化来做比喻。
你们计算机可能不需要学数学物理,你接触一下就知道。比如波函数,给你一个动量算子操作,来求特征值。
而且到了无限维,算子还可能是不连续的。比如微分算子作用在函数上,函数一个微小跳跃,导数就会爆炸。
这可能需要等你接触到狄利克雷函数的导数处处不连续就能理解了。所以很多数学文章里会去定义弱收敛,强收敛,否则就无法保证解的存在性。
所以像你问的这些简单定义我还能用比较直观的几何方式给你解释。但推广到无限维之后,我能想到,但没法用语言去解释。
我打个比方啊,傅里叶变换会将时域函数旋转到频域,这个操作我脑子里的函数构成都被彻底改变了,而且是非常复杂的变化,我不知道该怎么去描述。”
夏汐月仔细思索了半晌,才开口说道:“你的意思是在时域函数做傅里叶变换的时候脑子里都能产生画面感?”
乔源点了点头。皱着眉头思索了片刻才说道:“一定要做个描述的话,就好像原本是一团不同颜色的乱麻纠缠在一起。
经过变换之后,这些乱麻被分出了颜色,然后相对整齐的排列在一起。对不起,虽然这个描述还是不那么准确,但已经是我能想到最贴切的形容了。”
夏汐月叹了口气。
“哎......人跟人的差别也太大了吧?”
乔源一时间不知道该怎么继续聊下去。
有些东西的确很难解释。尤其是到了抽象数学的领域。
以前他以为大家都是一样的。能找到那些抽象中的关键脉络。
但现在他知道这是一种很难得的能力。
不管是陆院士还是袁老,他们看重的都是他这种能力。
以前乔源也无法理解为什么老师刚讲过一道数学题,只是稍微变形,本质还是一模一样的,一堆人马上就不会做了。
但现在乔源大概理解了,太多人根本无法看透题目背后本质的东西。
从这一点说,他觉得夏汐月就很聪明。
起码她在试图去理解一个重要数学概念,而不是简单的按照教授的要求给死记硬背下来。
前者的好处是,能将这个概念灵活的用于很多地方。后者则只能用来做计算题……………
总之能有这种意识就已经很不错了。
乔源没有回答,问完了问题后夏汐月大概也在消化刚才乔源说的内容,两人就这样默默走到了图书馆。
刚进门,乔源又主动说了句:“说实话,你学计算机其实不需要对数学最前沿的那些东西有太深入的了解